有理数
知识回放

名师精讲
考点一 正负数的意义　
 
例1　选择题：
(1)(盐城市中考)如果收入50元，记作＋50元，那么支出30元记作(　　)
A. ＋30元　　　　B. －30元　　　　C. ＋80元　　　　D. －80元
(2)如果水位升高3 m时水位变化记作＋3 m，那么水位下降3 m时水位变化记作(　　)
A. －3 m  B. 3 m  C. 6 m  D. －6 m
解析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
答案：(1)B　(2)A
点评：本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
考点二 相反数、绝对值、倒数　
 
例2　填空：
(1)(南京市中考)－2的相反数是________，－2的绝对值是________；

答案：(1)2　2　(2)3(2)
点评：本题主要考查了相反数、绝对值、倒数的定义，要求熟练运用定义解题．
 
例3　(徐州市中考)点A，B，C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为－3、1，若BC＝2，则AC等于(　　)
A. 3  B. 2  C. 3或5  D. 2或6
解析：本题利用数形结合思想，将A，B，C三点在数轴上表示后，即可计算AC的长．又因为题设条件点C的位置未知，故必须对此进行分类讨论，即点C在线段AB内或点C在线段AB外等两种情形．因为点A，B表示的数分别为－3、1，故AB＝4.
当点C在线段AB外，如图1所示，AC＝4＋2＝6；
图1
 
 
 
当点C在线段AB内，如图所2示，AC＝4－2＝2.
图2
 
 
答案：D
点评：根据绝对值的定义可知，在数轴上表示x1，x2的两个数的点A、B之间的距离公式是AB＝
考点三 有理数的大小比较　
 
例4　选择题：
(1)(扬州市中考)下列各数中，比－2小的数是(　　)
A. －3  B. －1  C. 0  D. 1
(2)(盐城市中考)－2,0,1，－3四个数中，最小的数是(　　)
A. －2  B. 0  C. 1  D. －3
解析：根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．(1)比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，故只有A符合；(2)因为负数比正数和0小，故本题只要比较－2与－3的大小，因为<，故根据两个负数中绝对值较大的反而小，故选D.
答案：(1)A　(2)D
点评：有理数的大小比较的步骤通常是首先判断正负数，再求其绝对值，最后比较得之．

 
例5　(连云港市灌云县期末)如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(　　)
A. a>b  B. |a|>|b|  C. －a<b  D. a＋b<0
解析：在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此判断选项正确与否．因为数a表示的点离原点比数b表示的点近，根据绝对值定义|a|<|b|，且a<0<b，即－a<b，故选C.
答案：C
点评：本题利用了数形结合思想判断得之，对于选择填空题，也可利用特殊值法判断，如本题可根据图取a＝－1，b＝2，从而得出选项C正确．
考点四 有理数的乘方与科学记数法　
 
例8　填空：
(1)(镇江市枫叶国际学校期末)地震中里氏震级每增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏________级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍．
(2)(南通市中考)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为__________________吨．
解析：(1)正确理解题意，若里氏1级地震释放的能量记为a，则里氏2级地震释放的能量为32a，里氏3级地震释放的能量为322a，依次类推，里氏3级地震释放能量的324倍，即为323－1·324＝326，故里氏7级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍；(2)根据科学记数法的定义表示即可．
答案：(1)7　(2)6.75×104
点评：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
考点五 有理数的混合运算　
例9　(扬州市扬州中学期末)计算：.
解析：①式子的结构特点：本题为含有多重括号的混合运算问题，以及含有带分数和除法运算；②运算顺序：中括号内，先乘方，后乘法分配律(简便运算)，再求差，最后求商；③按已确定的顺序，运用各级运算法则运算．
按照含有多重括号的运算顺序，应先计算小括号内的值，但是，根据本题的特点，若先利用乘法的分配律，则运算会简单得多．计算是还应注意将式子中带分数化为假分数，除法转化为乘法．


点评：为了确保运算的准确和快速，可采取步步为营的方法进行，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，切记不要“跳步”太多．
考点六 有理数的实际应用　

例10　(淮安市清江中学期末)一辆货车从超市出发，向东走了1 km，到达小明家，继续向东走了3 km到达小兵家，然后向西走了10 km，到达小华家，最后又向东走了6 km结束行程．
(1)如果以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，请你在如图所示的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置．

(2)请你通过计算说明货车最后回到什么地方？
(3)如果货车行驶1 km的用油量为0.25 L，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
解析：(1)根据题意可知，小明家的位置在数1表示的点，小兵家的位置在数1＋3＝4表示的点，小华家的位置在数4－10＝－6表示的点，从而标出各家位置；(2)由题意可知，货车行驶线路可用＋1，＋3，－10，＋6等有理数来描述，从而计算它们的代数和，即可判断货车最后位置；(3)对货车行驶线路中的数据求它们的绝对值之和，即可计算总路程，再根据公式“耗油量＝货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程”计算得之．
答案：(1)小明家、小兵家和小华家在数轴上的位置如图所示：

(2)由题意得(＋1)＋(＋3)＋(－10)＋(＋6)＝0，因而货车回到了超市．
(3)由题意得1＋3＋10＋6＝20，货车从出发到结束行程共耗油：0.25×20＝5(L)，即货车从出发到结束行程共耗油5 L.
点评：有关有理数的实际应用问题，就是根据正负数的定义，对两个具有相反意义的量进行恰当的描述，再对这些数据或求代数和或求绝对值之和，从而解答问题. 
考点七 数学思想与方法　
 
例11　(扬州市高邮市期末改编)在数轴上，表示数m与n的点之间的距离可以表示为|m－n|.例如：在数轴上，表示数－3与2的点之间的距离是5＝|－3－2|，表示数－4与－1的点之间的距离是3＝|－4－(－1)|.利用上述结论解决如下问题：
(1)若|x－5|＝3，求x的值；
(2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且|a－b|＝6(b>a)，点C表示的数为－2，若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b的值．
解析：本题含有数形结合及分类讨论的数学思想，首先利用绝对值的几何意义求解第(1)题，然后分类讨论点A、B、C的位置，解决第(2)问．
答案：(1)因为|x－5|＝3，所以在数轴上，表示数x的点与数5的点之间的距离为3，所以x＝8或x＝2.
(2)因为|a－b|＝6(b>a)，所以在数轴上，点B与点A之间的距离为6，且点B在点A的右侧．
①当点C为线段AB的中点时，如图1所示，AC＝BC＝2(1)AB＝3.因为点C表示的数为－2，所以a＝－2－3＝－5，b＝－2＋3＝1.
图1
 
 
 
②当点A为线段BC的中点时，如图2所示，AC＝AB＝6.因为点C表示的数为－2，所以a＝－2＋6＝4，b＝a＋6＝10.
图2
 
 
 
③当点B为线段AC的中点时，如图3所示，BC＝AB＝6.因为点C表示的数为－2，所以b＝－2－6＝－8，a＝b－6＝－14.
综上，a＝－5，b＝1或a＝4，b＝10或a＝－14，b＝－8.
图3
 
 
 
点评：绝对值的几何意义就是在数轴上表示的点到原点的距离，从而数轴上表示数x1，x2的两点间的距离公式是.
临门一脚 
本章引入了正、负数的概念，从而使数“扩张”到有理数，并将有理数在数轴上表示，定义了相反数、绝对值、倒数等概念，规定了有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，介绍了科学记数法．在本章的练习中，应掌握类比思想——将小学算术运算法则类比到有理数运算；数形结合思想——在数轴上理解绝对值的几何意义、比较有理数的大小；归纳猜想思想——运算规律与运算结果的探究．还有在有理数的运算过程中必须注意运算顺序：乘方、乘除、加减，如有括号，需先进行括号内运算或先去括号再运算．